単位距離予想の反証 ── OpenAI のモデルが80年来の Erdős 予想を覆す

2026年5月20日、OpenAI は、社内の汎用推論モデルが Erdős の単位距離予想を反証したと発表した。平面上に n 個の点を置いたとき、距離がちょうど1の点の組はどこまで多くできるか ── Paul Erdős が1946年に出したこの問いで、格子状の配置がほぼ最良だという予想が80年近く信じられてきた。モデルはこれより多項式的に多い単位距離を持つ配置の無限族を、代数的整数論という遠い分野の道具で作ってみせた。同じ日に、Timothy Gowers ら9人の数学者が、人間が検証し要約した証明と論評を公開している。

Quanta Magazine はこれを、AI モデルから出た初めての歴史的に重要な証明と位置づけた。エルデシュ問題が AI で解かれ始めた2026年の波の中でも、無名の問題ではなく、分野の中心にある有名な予想だった点で別格だった。

単位距離問題とは

OpenAI の説明によれば、最大の単位距離の組の数を u(n) とすると、点を一直線に並べれば n−1 組、正方格子なら約2n 組が得られる。縮尺を工夫した正方格子は n^(1+C/log log n) 組を与え、これが Erdős の1946年の構成以来ほぼ変わらない最良の下界だった。Erdős は、上界も n^(1+o(1)) 程度、つまり格子と本質的に変わらないと予想した。上界の側は、1984年の Spencer・Szemerédi・Trotter による O(n^(4/3)) から本質的に動いていなかった。

OpenAI のブログは、2005年の書籍『Research Problems in Discrete Geometry』がこの問題を組合せ幾何で最もよく知られた問題かもしれないと評したこと、Noga Alon が Erdős のお気に入りの問題の一つだったと述べたことを紹介している。

AI が見つけた構成

モデルが示したのは、ある固定の δ>0 について、無限に多くの n で n^(1+δ) 個以上の単位距離を持つ点の配置である。予想が正しければこれは不可能なので、予想は反証された。

OpenAI の説明では、Erdős の元の構成はガウス整数（a+bi の形の数）で理解できる。新しい論法はこれを、より豊かな対称性を持つ代数体に置き換え、必要な体が実在することを無限類体塔と Golod–Shafarevich 理論で示した。代数的整数論の研究者にはよく知られた道具だが、平面の幾何の問いに効くことは大きな驚きだったという。

AI がしたこと、人間がしたこと

論評論文の脚注によれば、AI の証明は社内モデルが1回の生成で数学的に作り出したもので、その後、Codex を介した人とのやり取りで説明が整えられた。OpenAI 側の論文の著者名は単に「OpenAI」とされた。

検証を依頼されたのは外部の数学者である。トロント大学の Daniel Litt は、OpenAI の Mark Sellke と Mehtaab Sawhney から正しさの確認を頼まれ、正しいと納得するのに時間はかからなかったと書いている。9人の論評論文は、AI の証明を人間が消化し、やや単純化・一般化した版を示し、その着想は振り返れば Ellenberg–Venkatesh、Golod–Shafarevich、Hajir–Maire–Ramakrishna に帰せられると記した。Princeton 大学の Will Sawin は、同じ日に指数を1.014と明示する論文を arXiv に出した。

Bloom は論評で、AI の元の証明は完全に正しかったが、OpenAI の研究者と論評の数学者たちによって大きく改良されたと書き、議論し、消化し、改良し、帰結を探るうえで人間が欠かせない役割を果たすと強調した。Quanta によれば、人間の数学者は数週間で結果を大きく改良し、数日のうちに関連する手法が他の重要な問題に使われた。Bloom を含む4人の数学者は、実数についての和積予想の一つの形を反証している。

評価 ── 画期か、得意分野か

最も強い賛辞は Gowers のものだった。「if a human had written the paper and submitted it to the Annals of Mathematics and I had been asked for a quick opinion, I would have recommended acceptance without any hesitation. No previous AI-generated proof has come close to that.」（人間が書いて Annals of Mathematics に投稿し、私が手短な意見を求められたなら、迷わず採録を勧めただろう。これまでの AI の証明でここに迫ったものはない）。

ただし Gowers は同じ論評で、最初は AI が上界を証明したと聞き違え、数学者の時代が終わるかもしれないと一晩考え込み、反証だと知って安堵したと明かしている。そのうえで、いま起きているのは AI が人間の数学者を追い越すことではなく、AI がはっきり有利な種類の問題があるということかもしれない、と述べた。一方で、AI 数学の進歩が頭打ちになるとは考えていないとも書いている。

Bloom は、人間の努力の多くが予想の証明に向けられ、反証を真剣に探した人は少なかっただろうと指摘し、新しい幾何の道具を生まなかった点に物足りなさを感じる研究者もいるだろうと書いた。Harvard 大学の Melanie Matchett Wood は、同じ専門家が1か月前に集まって同じ時間をかければ反例を見つけただろうが、AI の主張がなければ誰も反例を探そうとしなかったはずだと論じた。そして、AI の論文が関連する先行研究を適切に引用していないこと、AI にとっては正しい論証を作るより人間を納得させるほうが容易になりうることに、数学者は十分備えていないと警告した。

誰にとって何が変わったか

この結果は、AlphaProof（2024年）のような数学専用システムでも、IMO 金メダル水準（2025年）のような競技問題でもなく、汎用モデルが研究の最前線の有名問題を解いた例だった。翌日には Google DeepMind の AlphaProof Nexus も成果を発表した。Quanta は、エルデシュ問題が世界最大級のテック企業にとっての主要な腕試しの場、事実上の広報合戦の場になったと書いている。

数学界にとっては、引用の作法、検証の分担、成果の帰属をどうするかという実務の問題が、抽象論ではなくなった。Wood が求めたのは、厳密さを保ち、先行する考えの影響を正しく認め、人間の高い理解を保つための計画を、共同体として急いで立てることだった。経緯は AI と数学の年表、会社としての歩みは OpenAI のページにある。